北理工課題組與合作者在人工規(guī)范場朗道能級研究方向取得重要進展
發(fā)布日期：2026-06-05 供稿：物理學(xué)院 攝影：物理學(xué)院
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近日，北京理工大學(xué)物理學(xué)院路翠翠教授課題組和香港大學(xué)張霜教授課題組合作，實現(xiàn)了開放等頻率面系統(tǒng)的朗道能級，并在實驗上構(gòu)建了具有開放等頻率面的第二類狄拉克超構(gòu)表面，觀測到超構(gòu)表面中的朗道零模。相關(guān)研究成果以“Realizing Landau levels with open equifrequency contours around band singularities”為題發(fā)表在《Nature Communications》上。北京理工大學(xué)路翠翠教授還與同濟大學(xué)郭志偉副教授、清華大學(xué)劉永椿副教授、香港大學(xué)張霜教授課題組合作，將人工規(guī)范場物理拓展至高階朗道模式研究，通過引入虛動量，實現(xiàn)了對高階朗道模式的重塑。相關(guān)研究成果以“Non-Hermitian reshaping of high-order Landau modes”為題發(fā)表在《Science Bulletin》上。
1930年，朗道在研究帶電粒子在垂直磁場中做圓周運動時，從量子力學(xué)理論發(fā)現(xiàn)其能量會發(fā)生量子化，形成一系列離散能級，定義為朗道能級。對應(yīng)的波函數(shù)具有類似諧振子的解（原理上有無窮多個解），因此不同階次的朗道模式滿足厄米特多項式函數(shù)分布，零階朗道模式具有高斯分布，而隨著階次的增加，波峰越多，模式越擴散。由于光學(xué)、聲學(xué)、力學(xué)等經(jīng)典波體系對磁場幾乎沒有響應(yīng)，近年來，通過人工結(jié)構(gòu)構(gòu)建贗磁場（也稱為人工規(guī)范場）成為實現(xiàn)不帶電體系的朗道能級的主要思路。傳統(tǒng)理論認為，朗道能級的存在依賴動量空間封閉的等頻率面（例如第一類狄拉克或外爾系統(tǒng)），以形成周期性回旋軌道；而開放等頻率面的系統(tǒng)，例如在第二類狄拉克或外爾系統(tǒng)，其簡并點附近的等頻率面是雙曲線型，粒子軌道無界，施加磁場不能產(chǎn)生朗道能級，極大限制了拓撲光子學(xué)的體系范圍，使具有開放色散的新奇光子態(tài)難以實現(xiàn)朗道量子化效應(yīng)（如圖1所示）。
圖1. 第一類和第二類狄拉克體系中朗道能級形成的半經(jīng)典物理圖像。a.能帶與截平面（灰色面）在動量–能量空間的交截關(guān)系。b.將圖a中的交截曲線投影至動量平面，投影曲線繼承動量–能量空間內(nèi)二次圓錐曲線的分類規(guī)律：圓錐曲線閉合（圓/橢圓）時體系存在朗道能級；曲線開放（拋物線/雙曲線）時朗道能級消失。c.粒子在實空間的運動軌跡(I)施加z方向磁場時，第一類狄拉克體系準(zhǔn)粒子軌跡為閉合環(huán)路；(II)額外引入y方向電場后，粒子在y方向仍受束縛，同時沿x方向漂移；(III) 施加z方向磁場時，第二類狄拉克體系粒子在 x、y 兩個方向均無法被束縛；(IV) 疊加 y方向電場后，粒子在y方向受限并沿x方向漂移。
研究發(fā)現(xiàn)，盡管單純施加磁場無法在開放等頻率面系統(tǒng)中產(chǎn)生朗道能級，但引入合適的電場后，能夠?qū)㈤_放的等頻率面系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為閉合的等頻率面系統(tǒng)，產(chǎn)生朗道能級。超構(gòu)材料和超構(gòu)表面能夠通過人工設(shè)計產(chǎn)生天然材料不具備的性質(zhì)，為驗證人工規(guī)范場朗道能級提供了重要的實驗平臺。前期研究團隊通過構(gòu)建超構(gòu)材料實現(xiàn)了具有貝利偶極子的能帶和方向性朗道能級，為控制經(jīng)典波的定向傳輸提供一種新型拓撲物理機制（Physical Review Letters 134,116604, 2025）；并通過構(gòu)建超構(gòu)材料實現(xiàn)了具有張量單極子的四維系統(tǒng)，觀測到三維子系統(tǒng)中費米弧和狄拉克錐兩種不同的拓撲表面態(tài)（Physical Review Letters 134,186601, 2025），這些工作為構(gòu)建人工規(guī)范場提供了重要平臺。在該工作中，研究團隊利用超構(gòu)材料高度可設(shè)計的優(yōu)勢，設(shè)計了基于耶路撒冷十字單元的第二類狄拉克超構(gòu)表面，在微波波段觀測到傾斜的狄拉克點與雙曲線開放等頻輪廓（如圖2所示）。
圖2. 周期性結(jié)構(gòu)單元超構(gòu)表面及其色散特性。a.正方晶格單胞結(jié)構(gòu)；b.能帶色散仿真結(jié)果，在9.1GHz附近存在簡并點，對應(yīng)第二類狄拉克能帶。仿真（c）和實驗測試（d）的第一布里淵區(qū)能帶色散。狄拉克點附近等頻率面輪廓呈雙曲色散。
通過超構(gòu)表面單元結(jié)構(gòu)的空間漸變精準(zhǔn)地構(gòu)建了人工磁場和人工電場。近場掃描實驗顯示，在人工電場和人工磁場的協(xié)同作用下，超構(gòu)表面支持一系列傾斜線性離散能帶，零階朗道模式呈現(xiàn)高斯型局域場分布；而僅施加人工磁場或無人工規(guī)范場的周期性結(jié)構(gòu)樣品中，無任何朗道量子化特征（如圖3所示）。該工作將朗道量子化從封閉色散體系拓展至開放色散體系，打破了業(yè)界認為的開放等頻率面系統(tǒng)不存在朗道能級的傳統(tǒng)認知，為傾斜狄拉克材料的量子化調(diào)控和人工規(guī)范場物理提供了平臺。
北京理工大學(xué)路翠翠教授和香港大學(xué)游歐波博士后（現(xiàn)為上海交通大學(xué)助理研究員）為論文的共同第一作者，路翠翠教授和香港大學(xué)張霜教授為論文的通訊作者，北京理工大學(xué)博士研究生鄭焱基、王志浩、碩士研究生馬文碩，復(fù)旦大學(xué)馬少杰青年研究員，香港大學(xué)博士研究生楊青東、博士后詹勛奇和清華大學(xué)劉永椿副教授都深度參與了本工作。
圖3. 人工電場與人工磁場共同作用下朗道能級的實驗觀測。a.實驗測試平臺圖；右圖為局部放大圖：通過空間結(jié)構(gòu)參數(shù)實現(xiàn)人工電場與磁場復(fù)合規(guī)范場，僅調(diào)控一個參數(shù)可單獨構(gòu)造人工磁場。同時具有人工電場和磁場的超構(gòu)表面結(jié)構(gòu)實驗測試（b）和仿真（c）的能帶；人工磁場主導(dǎo)的超構(gòu)表面結(jié)構(gòu)實驗測試（d）和仿真（e）的能帶；無規(guī)范場的周期超構(gòu)表面結(jié)構(gòu)實驗測試（f）和仿真（g）的能帶。h.三類樣品在指定頻率的y方向電場分布仿真結(jié)果。
已實現(xiàn)的朗道能級的相關(guān)研究主要聚焦于零階（n=0）朗道模式，而高階（|n|=1,2,3…）朗道模式具有豐富的空間分布和更寬的頻率覆蓋范圍，可提供極高的模式調(diào)控自由度和海量信息信道，具備重要的應(yīng)用潛力。然而，高階朗道模式存在空間分布發(fā)散、能級高度簡并的特性，物理上缺乏調(diào)控方法。為解決高階朗道模式難以調(diào)控的困難，提出同時構(gòu)建虛動量、人工磁場和人工電場對高階朗道模式進行協(xié)同調(diào)控，在非厄米體系中成功對高階朗道模式進行重塑，實現(xiàn)了其在頻率、空間位置和波束包絡(luò)的自由調(diào)控。此外，該研究解析地給出了高階朗道模式能量-空間位置-波束包絡(luò)的映射關(guān)系，建立了一套完整普適的調(diào)控高階朗道模式的理論框架(圖4)。
圖4. 非厄米重塑高階朗道模式示意圖。(a) 一維情況下虛動量對非厄米諧振子波函數(shù)的重塑。(b) 無質(zhì)量狄拉克粒子的能譜。(c) 連續(xù)的能譜在磁場下分裂形成一系列朗道能級。(d) 和 (e) 分別展示了一階和二階朗道模式在四種不同條件下的空間分布與頻率演化。(f) 磁場和電場共同作用下，朗道能級簡并被打破。
為在可觀測的物理模型中驗證上述機制，研究團隊進一步設(shè)計了對應(yīng)的晶格模型：通過在y方向引入梯度耦合強度來實現(xiàn)贗磁場，并在x方向引入梯度在位勢來實現(xiàn)贗電場，通過引入晶格間的非互易耦合實現(xiàn)虛動量的作用，從而完成對高階朗道模式波束包絡(luò)重塑（圖5）。在實驗上，研究團隊搭建了非厄米電路平臺，沿y方向和x方向分別構(gòu)建梯度變化的電容，等效產(chǎn)生磁場和電場，并在節(jié)點間通過電壓跟隨器實現(xiàn)非互易耦合，從而引入虛動量。通過記錄不同頻率下的穩(wěn)態(tài)電壓分布來表征虛動量對高階朗道模式的重塑效應(yīng)，與理論預(yù)測高度吻合。這項工作不僅為高階朗道模式的實際應(yīng)用開辟了新路徑，也為探索其在頻率復(fù)用與波包重塑領(lǐng)域的應(yīng)用提供了普適性思路與研究平臺。
圖5. 晶格模型中的非厄米重塑高階朗道模式。(a) 蜂窩晶格模型示意圖。(b)超胞耦合沿y方向變化圖。(c) 贗磁場下的能譜分布 (PR值越小，模式越局域)。(d) 贗磁場和虛動量下的能譜分布。(e) 沿x方向在位勢變化圖。(f) 在贗磁場、贗電場與虛動量共同作用下的有限尺寸晶格能譜。
北京理工大學(xué)博士研究生王志浩和同濟大學(xué)博士研究生姜杰為該論文的共同第一作者，北京理工大學(xué)路翠翠教授、香港大學(xué)張霜教授、清華大學(xué)劉永椿副教授和同濟大學(xué)郭志偉副教授為該論文的通訊作者，北京理工大學(xué)博士研究生鄭焱基、趙聞和清華大學(xué)博士研究生王晨陽都深度參與了該工作。
相關(guān)工作得到了科技部重點研發(fā)計劃、國家自然科學(xué)基金、新基石科學(xué)基金、香港研究資助局、北京理工大學(xué)等的大力支持。
文章信息：
（1）Cuicui Lu#*, Oubo You#, Yanji Zheng, Shaojie Ma, Qingdong Yang, Hsun-Chi Chan, Zhihao Wang, Wenshuo Ma, Yong-Chun Liu, and Shuang Zhang*, Realizing Landau levels with open equifrequency contours around band singularities, Nature Communications 17, 4889(2026).
（2）Zhihao Wang#, Jie Jiang#, Yanji Zheng, Wen Zhao, Chenyang Wang, Zhiwei Guo*, Yong-Chun Liu*, Shuang Zhang*, Cuicui Lu*, Non-Hermitian reshaping of high-order Landau modes, Science Bulletin 71, 1949 (2026).
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